• Лента публикаций
  • Последние публикации
    • за все время
    • за полгода
    • за месяц
    • Города и страны
    • Здоровье
    • Изобретения
    • Интересные факты
    • История
    • Космос
    • Наука
    • Природа
    • Рекорды
    • Технологии
    • Человек
Наука и техника
Подписаться Войти / РЕГИСТРАЦИЯ
  • Небольшие технические трудности. В ближайшее время мы появимся в сети и сайт станет чуточку лучше

Дела на миллион: математические «Задачи тысячелетия» доступным языком

18 июня 2018
  • 10
  • 6
  • 6
  • 1
  • 1
Показать публикацию

Август 1900 года ознаменовался проведением в Париже II Международного конгресса математиков, на котором один из корифеев науки Давид Гильберт сформулировал наиболее кардинальные проблемы, требующие разрешения.

К началу XXI века почти все они были решены, либо покинули список по другим причинам – например, как нечетко сформулированные, – и сто лет спустя после Гильберта математик Стивен Смейл выдвинул новый список 18 проблем, стоящих перед математиками и физиками нашего времени. Попытку Смейла можно засчитать, однако куда большую известность получил альтернативный вариант, предложенный авторитетным американским институтом Клэя. Семь проблем были названы на громком мероприятии, специально организованном в Париже. Одна из них, гипотеза Римана, перекочевала еще из списка 1900 года, а еще одна – гипотеза Пуанкаре – оказалась доказанной уже два года спустя.

Мы представляем краткий обзор «Задач тысячелетия», за решение каждой из которых институт Клэя готов выплатить миллион долларов. Кстати, это касается и гипотезы Пуанкаре: заслуженный миллион по-прежнему ожидает выплаты, и пока что Григорий Перельман отказывается принять награду. Разумеется, мы упростили многие моменты, постаравшись объяснить задачи так, чтобы суть была понятной даже человеку, совсем далекому и от высшей, и какой-либо другой математики.

1. Равенство классов P и NP

Область: теория алгоритмов 

Предположено в начале 1970‑х, остается нерешенным

Представьте, что вам надо закупить офисной техники, мебели и канцтоваров на 500 тыс. рублей – и вы просматриваете прайс-лист поставщика. Вы можете выбрать, что хотите, но в списке обязательно должны быть два принтера, одно кресло руководителя, 50 шариковых ручек, остальное по желанию. Сколько комбинаций возможно? Это вариант «задачи о ранце», которая в классическом виде состоит в том, чтобы уложить в объем рюкзака как можно больше вещей определенного объема и стоимости. Проверить конечный вариант легко, но найти его сложно. К этим задачам, кстати, относится и «вскрытие» чужого пароля, который шифруется таким образом, что система может легко проверить его корректность, но взломщику практически невозможно вычислить правильный вариант в море альтернативных решений зашифрованной строки.

Такие проблемы в теории алгоритмов относятся классу сложности NP: их решение можно быстро проверить. Часть из них входят в класс P – те, решение которых еще и легко находится (за «обозримое», или, строже говоря, полиномиальное время). Вопрос состоит в том, всегда ли существуют простые алгоритмы решения NP-задач – то есть, равны ли классы NP и Р. Сегодня предполагается, что ответ на него будет отрицательным: далеко не все задачи, решения которых легко проверяемы, могут быть легко решаемы. Математик из NASA Субит Чакрабарти прогнозирует, что окончательный ответ может быть получен в течение ближайших 50 лет.

Диаграмма классов сложности при условии P ≠ NP / ©wikipedia

Диаграмма классов сложности при условии P ≠ NP 

2. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Область: математическая физика (гидродинамика) 

Задача известна более ста лет, остается нерешенной

Задача на стыке математики и классической физики вырастает из работ, проделанных еще в XIX в., когда ученые стали формулировать строгие законы, которые описывают движение жидкостей. Полученные тогда уравнения Навье – Стокса остаются одними из важнейших в гидродинамике и аэродинамике. Они позволяют вычислять скорость потока с учетом вязкости, сжимаемости, плотности, давления и т. п., и используются повсеместно. Однако решить их в общем виде до сих пор не удается, и расчеты ведутся лишь для отдельных, частных случаев.

В решении уравнений Навье – Стокса скрываются многие тайны одного из самых «твердых орешков» современной физики – проблемы турбулентности. С ней современные технологии встречаются повсеместно, от самолетов и подлодок до ветряных электростанций и автомобилей, – но во многом турбулентность остается плохо понятной, плохо просчитываемой и почти непредсказуемой. Поэтому ученые штурмуют эту «Задачу тысячелетия» с особенным упорством. Математик Субит Чакрабарти предполагает, что в течение полувека решение сложных уравнений турбулентности может быть найдено. Пока же заявку на победу подал казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев, в расчетах которого впоследствии была найдена ошибка, а также узбекский ученый Шокир Довлатов, решение которого еще проверяется.

Американский математик Стивен Смейл – лауреат премии Филдса за работы в области топологии. В 2000 г. он возглавлял факультет математики в Калифорнийском университете в Беркли, когда академик Владимир Арнольд – тогда еще президент Международного математического союза (IMU) – предложил ему подобрать список новых проблем на смену уже выполнившему свои задачи списку Гильберта. Смейл подобрал 18 таких задач, из которых некоторые, включая равенство Р и NP, гипотезы Пуанкаре и Римана, решения уравнений Навье – Стокса и т. д., вошли и в список «Задач тысячелетия», подготовленный институтом Клэя.

Сплошная среда / ©Academic.ru

Сплошная среда 

3. Гипотеза Римана

Область: теория чисел

Сформулирована в 1859 г., остается нерешенной

Многие из нас еще со школы помнят о существовании простых чисел – тех, которые делятся только на 1 и на самих себя, как 2, 3, 5, 7, 11 и т. д. Простые числа играют важную роль и в «абстрактной» теории чисел, и в практике – например, в работе криптографических алгоритмов. Если отметить положение всех простых чисел на числовой оси, то мы увидим, что их распределение неравномерно и, кажется, не подчиняется какой-то закономерности, поэтому заранее предсказать, где именно появится следующее простое число, не получается. Однако Бернард Риман показал, что это распределение похоже на точки, в которых дзета-функция – ς(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s + … – обращается в ноль.

Известно, что нулевое значение она имеет, когда s – отрицательное четное число. Но где еще? Согласно выкладкам Римана, другие нули появляются, если s – комплексное число, содержащее действительную часть 1/2. Задача была названа в числе актуальных еще Давидом Гильбертом в 1900 г. и не решена до сих пор, хотя практически все математики готовы согласиться: расчеты, проведенные даже с использованием суперкомпьютеров и для невероятно громадных простых чисел, подтверждают справедливость гипотезы Римана. Она доказана для примерно 10 трлн первых решений, но в общем виде пока – нет. По словам Субита Чакрабарти, за годы работы над этой проблемой математики продвинулись достаточно далеко, и ответ может быть найден в ближайшие десятилетия.

Действительная (красная) и мнимая (синяя) компоненты дзета-функции / ©wikipedia

Действительная (красная) и мнимая (синяя) компоненты дзета-функции 

4. Гипотеза Пуанкаре

Область: топология 

Появилась в 1900–1904 гг., решена в 2002 г.

Гипотеза Пуанкаре относится к топологии – одной из самых сложных и молодых областей математики, которая исследует свойства геометрических фигур и их деформаций, происходящих без разрыва. Слепите из пластилина пирамиду – вы легко превратите ее в конус, цилиндр или даже сферу, нигде ничего не склеивая и не разрывая. Слепите бублик – и такой трюк вам уже не удастся, хотя бублик легко деформируется, например в чашку с ручкой. Говоря строже, поверхности сферы и цилиндра гомеоморфны, а сферы и тора – негомеоморфны. Но это для простейшего случая: то, что любая замкнутая (без дырок) двухмерная поверхность гомеоморфна двухмерной сфере, показал еще Пуанкаре. Решение для поверхностей более высоких размерностей потребовало около века.

Интересно, что для размерностей 5 и выше гипотеза Пуанкаре была доказана еще в 1960-х, а для размерности 4 – в 1980-х гг. Случай с гомеоморфностью любой трехмерной поверхности трехмерной сфере оказался самым сложным. Показать это удалось лишь в 2002 г. петербургскому математику Григорию Перельману, который моментально прославился на весь мир. После серии неприятных интриг и попыток отобрать у него славу первооткрывателя Перельман, и без того имевший славу «сумасшедшего гения», порвал все контакты с официальным математическим миром, отказался от получения денежной премии от института Клэя и ведет затворнический образ жизни, не принимая многочисленные предложения о работе и участии во всевозможных профессиональных мероприятиях и форумах.

©youtube

5. Гипотеза Ходжа

Область: алгебраическая геометрия 

Сформулирована в 1941 г., остается нерешенной

Со времен Декарта алгебраическая геометрия достигла большого прогресса в описании форм сложных объектов. Мы можем предложить уравнение, решения которого будут соответствовать той или иной фигуре, например, сферу описать как (x - a)2 + (y - b)2 = r2. Если объект слишком сложен, мы можем аппроксимировать эту форму, «склеивая» вместе более простые фигуры – тогда ей будет соответствовать решение системы уравнений. Такой подход применяется очень широко, и математики далеко ушли даже от объектов, которым вообще соответствуют какие-либо геометрические аналоги – к тому, что называется более широким термином «многообразие».

Вопрос состоит в том, насколько этот подход можно применять к особому классу проективных алгебраических многообразий. Шотландец Уильям Ходж нашел остроумный метод, позволяющий проверять соответствие таких многообразий и алгебраические уравнения их представления, однако доказать его справедливость в общем случае пока не удается. Более того, математик Субит Чакрабарти считает эту задачу чересчур «абстрактной» для текущего уровня развития науки – ее решение требует разработки новых, плохо освоенных разделов алгебраической геометрии, и будет найдено очень нескоро. Пока что гипотеза доказана лишь для некоторых частных случаев, и математикам неизвестно, верна ли она в принципе.

©Depositphotos

6. Теория Янга – Миллса

Область: математическая физика (физика элементарных частиц) 

Возникла в 1950-х, остается нерешенной

Теория Янга – Миллса относится к области физики элементарных частиц, являясь фундаментом современных представлений о них. По сути, это набор уравнений, которые пытаются предсказать поведение частиц и являются попыткой дать объединенное описание трех из четырех фундаментальных взаимодействий природы – сильного, слабого и электромагнитного. Удалось это лишь частично, создав аппарат для описания объединенного электрослабого взаимодействия. Решить уравнения, включив в них сильное взаимодействие, пока не получается, и для него найдено отдельное решение, которое, кстати, привело к открытию кварков.

Получается, что теория Янга – Миллса включает электрослабое взаимодействие и – отдельно – сильное. Эксперименты показывают, что она в принципе может их и объединить: предсказания уравнений согласуются с экспериментами, как натурными, так и расчетными, модельными. Однако математически доказать это пока не получается. Показано, что такая строгая теория требует построить описания для каждой компактной калибровочной группы – то есть группы преобразований, при которых свойства системы-частицы остаются неизменными (как сдвиг фазы не влияет на свойства волны-электрона), – причем сделать это предстоит для четырехмерного пространства-времени. Субит Чакрабарти предполагает, что решение этой задачи потребует около века и ювелирной работы нескольких поколений математиков.

Янг Чжэньнин / ©wikipedia

Янг Чжэньнин 

7. Гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера

Область: алгебраическая геометрия 

Задача выдвинута в начале 1960-х, остается нерешенной

Уравнения, у которых и переменные, и решения являются целыми числами, названы в честь древнегреческого математика диофантовыми. В простейшем их виде они действительно просты – как, например, x2 = y: мы помним, что геометрическим решением такого школьного уравнения будет парабола. Но в более сложных случаях все становится по-настоящему сложным. Более того, еще советский математик Юрий Матиясевич показал, что универсального решения диофантовых уравнений не существует, тем самым ответив на вопрос 10-й проблемы Гильберта.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (это два человека – Питер Свиннертон-Дайер и Брайан Бёрч) утверждает, что множество решений эллиптической кривой связано с поведением L-функции в районе 1. Эта функция вычисляется, как уже знакомая нам по гипотезе Римана дзета-функция, и количество рациональных решений бесконечно тогда (и только тогда), когда L(1) = 0. Математик Виктор Колывагин доказал в одну сторону, что если L(1) ≠ 0, то количество рациональных точек конечно. Проделать обратные выкладки не получается никак. По словам Субита Чакрабарти, возможно, что окончательное доказательство этой гипотезы в принципе не может быть получено, о чем говорит ответ на вопрос 10-й проблемы Гильберта. Вероятно, ответы на гипотезу Бёрча – Свиннертон-Дайера будут получены лишь в частном виде. 

Источник

+26
  • 10
  • 6
  • 6
  • 1
  • 1
Полина
созерцатель
  • Активность: 120k
  • Пол: Женщина
Полина созерцатель
Наука
Публикации месяца
Топ-7 самых странных медицинских тайн, которые так и остались неразгаданными
Топ-7 самых странных медицинских тайн...
1987 2
Самые большие корабли и самолеты
Самые большие корабли и самолеты
1509 12
10 вещей, которые были изобретены женщинами
10 вещей, которые были изобретены жен...
1865 3
13 фактов о подлодках, которые в корне изменят представления о них
13 фактов о подлодках, которые в корн...
1425 3
10 самых важных экспериментов, изменивших наш мир
10 самых важных экспериментов, измени...
988 1
7 удивительных роботов прошлых веков, созданных без цифровых технологий
7 удивительных роботов прошлых веков,...
2658 2
Самые странные древние артефакты, происхождение которых никто не может объяснить
Самые странные древние артефакты, про...
3452 1
7 современных технологий, которые мы «подсмотрели» у матушки-природы
7 современных технологий, которые мы ...
1093 3
Невероятные факты о нашей Вселенной
Невероятные факты о нашей Вселенной
1700 3
Какие тайны хранит самая загадочная жемчужина в мире: Ла Перегрина
Какие тайны хранит самая загадочная ж...
1518 1

Показать комментарий

[[comment.formatted_mark_curval]]
[[comment.formatted_mark_curval]]
O.A.
мастер
  • Активность: 14k
  • Репутация: 226
O.A. мастер
5 лет назад

Представим себе, что "Полина" понимает содержимое, скопированное ею.

+3

2 комментария

Евгений Орлов
злостный тролль
  • Активность: 7461
  • Репутация: -164
  • Пол: Мужчина
Евгений Орлов злостный тролль
5 лет назад

None

Показать комментарий

Когда счетоводы берутся за познание истины у них получается такая хрень, что ни пером описать, ни умом проникнуть. Короче, описывать уже открытое они могут, а вот вторгнуться в непознанное, математикам не дано. Поэтому, жонглирование и манипулирование уже известным - это только для счетоводов, хотя и они нужны не меньше чем инженеры.

-1
O.A.
мастер
  • Активность: 14k
  • Репутация: 226
O.A. мастер
5 лет назад

None

Показать комментарий

Представим себе, что "Полина" понимает содержимое, скопированное ею.

+3

Показать комментарий

[[comment.formatted_mark_curval]]
[[comment.formatted_mark_curval]]
< >
[[post.title]]

10 подсмотренных идей, которые помогут соорудить самому чертовски привлекательные элементы декора
439 0

10 подсмотренных идей, которые помогут соорудить самому чертовски привлекательные...

Подборка смешных шуток и открыток для настроения
559 0

Подборка смешных шуток и открыток для настроения

Ваша икона-заступница по дате рождения
597 2

Ваша икона-заступница по дате рождения

Диета. Минус 12 кг за 2 недели
565 2

Диета. Минус 12 кг за 2 недели

Особенности приёмных детей-подростков
266 1

Особенности приёмных детей-подростков

8 признаков того, что вы встретили свою будущую жену
537 9

8 признаков того, что вы встретили свою будущую жену

Чем подкормить свеклу летом так, чтобы осенью она подкормила вас
466 0

Чем подкормить свеклу летом так, чтобы осенью она подкормила вас

"La peregrinación, huella...", "Паломничество", известная нам как заставка передачи "В мире животных"
583 8

"La peregrinación, huella...", "Паломничество", известная нам как заставка переда...

Прыщи у взрослых: 6 основных причин появления, о которых нужно знать
599 1

Прыщи у взрослых: 6 основных причин появления, о которых нужно знать

ПОЧЕМУ ЖЕ?!
622 23

ПОЧЕМУ ЖЕ?!

[[post.title]]

Последние публикации

Читать далее
10 теорий об эволюции человека

10 теорий об эволюции человека

808 2
Марина
7 потрясающих чудес Солнечной системы

7 потрясающих чудес Солнечной системы

850 1
Марина
6 удивительных фактов о гравитации

6 удивительных фактов о гравитации

884 1
Марина
11 удивительных секретов Луны

11 удивительных секретов Луны

883 2
Марина
10 любопытных парадоксов, над которыми вам придётся хорошенько подумать

10 любопытных парадоксов, над которыми вам придётся хорошенько подумать

475 2
Марина
10 способов, которыми моча может сформировать наше будущее

10 способов, которыми моча может сформировать наше будущее

408 1
Марина
10 медицинских технологий, которые, вполне вероятно, сформируют наше будущее

10 медицинских технологий, которые, вполне вероятно, сформируют наше будущее

318 0
Марина

Читать далее

Рекомендуем

Читать далее
Вкуснейшая рыбная запеканка «Рыбный хлеб»

Вкуснейшая рыбная запеканка «Рыбный хлеб»

1225 2
Михаил Бурмин
Гороскоп капризов женщин разных знаков зодиака

Гороскоп капризов женщин разных знаков зодиака

653 1
Ирина
Как узнать, что ваш собеседник — псих: простые признаки, по которым можно выявить психические расстройства

Как узнать, что ваш собеседник — псих: простые признаки, по которым можно выявить психические расстройства

480 1
Вайке
Фантастические идеи из поддонов в интерьере дома и сада

Фантастические идеи из поддонов в интерьере дома и сада

316 0
Назар
18 гениальных идей, которые помогут организовать хранение и оптимизировать пространство спальни

18 гениальных идей, которые помогут организовать хранение и оптимизировать пространство спальни

397 0
Мария

Читать далее
  • Помощь
  • Реклама
  • Пользовательское соглашение
  • Правообладателям

Использование материалов сайта возможно только при указании гиперссылки на источник

Обратная связь
  • vk
© 2023, Наука и техника
[[plusRating]]
[[minusRating]]